Circuito R-L in serie - Impedenza Complessa

Dettagli: Categoria: Elettrotecnica; Pubblicato Sabato, 21 Giugno 2014 09:10; Scritto da Super User; Visite: 10239

fig4.2.5

Fig. 2.5 - Impedenza ohmico-induttiva.

Negli articoli precedenti sono stati considerati separatamente gli elementi R, L, C. In pratica tali elementi si trovano spesso combinati e dobbiamo perciò trattare configurazioni più complesse.

Nel circuito di fig. 2.5 un resistore ed un induttore sono collegati in serie e sono perciò attraversati dalla stessa corrente I; la tensione V è data dalla somma V=V_L+V_R, dove i

$\! \! \! \! \! \! \! \! \! {\color{Red} \mathbf{ \overline{V}_{R}=R*\overline{I} }} \\ {\color{Red} \mathbf{ \overline{V}_{L}=J\omega L*\overline{I} }}$

e quindi

$\! \! \! \! \! \! \! \! \! {\color{Red} \mathbf{ \overline{V}=\overline{V}_{R}+\overline{V}_{L}=\overline{I}*(R+J\omega L) }}$

Il numero complesso R +jωL viene detto impedenza, si misura in ohm, e si indica con Z:

$\! \! \! \! \! \! \! \! \! {\color{Red} \mathbf{ \overline{Z}=R+j\omega L=R+jX_{L} }}$

L’espressione che lega la tensione e la corrente diventa

$\! \! \! \! \! \! \! \! \! {\color{Red} \mathbf{ \overline{V}=\overline{Z}*\overline{I}; \;\;\;\;\;\;\overline{Z}=\frac{\overline{V}}{\overline{I}} }}$

Attenzione: il numero complesso che esprime l’impedenza ha un significato diverso dai numeri complessi finora introdotti: contrariamente ad I ed a V, esso non rappresenta affatto una sinusoide (l’impedenza è costante nel tempo e non ha alcun andamento sinusoidale).

L’impedenza costituisce un operatore vettoriale che, moltiplicato per la corrente I, permette di ottenere la corrispondente tensione V. Il prodotto fra numeri complessi è stato illustrato nell'articolo «Operazioni lineari sui numeri complessi».

L'impedenza, oltre che da un numero complesso, può essere rappresentata da un vettore, di componenti R e jωL, come in fig. 2.5, avente modulo

$\! \! \! \! \! \! \! \! \! {\color{Red} \mathbf{ |Z|=\sqrt{R^{2}+\omega^{2}L^{2}} }}$

e fase

$\! \! \! \! \! \! \! \! \! {\color{Red} \mathbf{ \varphi _{Z}=arctg\frac{\omega L}{R} }}$

Quando si utilizza la notazione vettoriale, il prodottoV=Z*Isi sviluppa attraverso le seguenti operazioni

1) modulo: |V|=|Z|*|I| 2) fase:φ_V=φ_I+φ_Z

Esempio

Siano dati: corrente 5 A, con fase = 0; frequenza 60 Hz; resistenza 5 Ω; induttanza 5 mH

Calcolare la tensione.

1) Metodo simbolico:

$\! \! \! \! \! \! \! \! \! \mathbf{ \omega =2\pi f=377 rad/s } \\ \mathbf{ X_{L}=\omega L=377*6*10^{-3}=2,26\Omega } \\ \mathbf{ \overline{Z} =R+jX_{L}=(5+j2,26)\Omega }$

Il vettore corrente risulta

$\! \! \! \! \! \! \! \! \! \mathbf{ \overline{I}=5+j0A } \\ \mathbf{ \overline{V}=\overline{Z}*\overline{I}=(5+j2,26)*5=25+j11.3 }$

2) Rivediamo lo stesso calcolo per mezzo della rappresentazione vettoriale:

modulo:

$\! \! \! \! \! \! \! \! \! \mathbf{ |\overline{Z}|=Z=\sqrt{R^{2}+X^{2}}=\sqrt{5^{2}+2,26^{2}}=5,49\Omega }$

fase:

$\! \! \! \! \! \! \! \! \! \mathbf{ \varphi _{z}=arctg\frac{2,26}{5}=24,32^{o} }$

modulo della tensione:V=Z*I=5,49*5=27,45V

fase della tensione:φ_V=φ_I+φ_Z=0+24,32°=24,32°

Per veriﬁcare la coincidenza del risultato ottenuto con quello ricavato per mezzo dei numeri complessi, calcoliamo le componenti reale ed immaginaria della tensione

parte reale: V cos φ = 27,45 cos 24,32° = 25,0 V

parte immaginaria: V sen φ = 27,45 sen 24,32° = 11,3 V

Si presenta spesso il problema inverso di calcolare la corrente, note la tensione e l’impedenza, come ne1l’esempio seguente.

Esempio

Siano dati:

V=220 V; f=50 Hz; R=8 ω; L= 19,1 mH

Calcolare 1a corrente I.

1) Metodo simbolico

$\! \! \! \! \! \! \! \! \! \mathbf{ X_{L}=\omega L=314*19,1*10^{-3}=6\Omega } \\ \mathbf{ \overline{Z}=R+j\omega L=8+j6\Omega } \\ \\ \mathbf{ \overline{I}=\frac{\overline{V}}{\overline{Z}}=\frac{\overline{V}}{R+jX_{L}} }$