Circuito R-L-C - Risonanza

Dettagli: Categoria: Elettrotecnica; Pubblicato Giovedì, 26 Giugno 2014 16:37; Scritto da Super User; Visite: 305189

Fig. 2.7 - Circuito R-L-C: diagramma vettoriale della tensione e dell'impedenza.

Nel circuito di fig. 2.7 dobbiamo calcolare l’impedenza vista dai morsetti del generatore. La tensione V è data dalla somma vettoriale

$\! \! \! \! \! \! \! \! \! {\color{Red} \mathbf{ \overline{V}=\overline{V}_{R} +\overline{V}_{L}+\overline{V}_{C}=R*\overline{I} +j\omega L\overline{I}+\frac{1}{j\omega C}*\overline{I} }}$

l’impedenza è data da

$\! \! \! \! \! \! \! \! \! {\color{Red} \mathbf{ \overline{Z}= \frac{\overline{V}}{\overline{I}}=R+j\omega L +\frac{1}{j\omega C}=R+jX_{L}-jX_{C} =R+j(X_{L}+X_{C}) }}$

Si osservi che le due reattanze X L e X c si contrappongono e perciò si compensano. Il modulo e la fase di Z risultano

$\! \! \! \! \! \! \! \! \! {\color{Red} \mathbf{ |\overline{Z}|=\sqrt{R^{2}+(X_{L}-X_{C})^{2}} }} \\ \\ {\color{Red} \mathbf{ \varphi _{Z}=arctg\frac{X_{L}-x_{C}}{R} }}$

La tensione può essere

in anticipo su I se |XL|>|XC|

in ritardo su I se |XL|<|XC|

in fase con I se |XL|=|XC|

Quest'ultimo caso è particolarmente importante, e rappresenta la situazione di risonanza del circuito. Questa situazione si verifica in corrispondenza ad un particolare valore di pulsazione, indicato con ω _r, detto pulsazione di risonanza. Essa si ricava ponendo X_L = X_C

$\! \! \! \! \! \! \! \! \! {\color{Red} \mathbf{ \omega _{r}L=\frac{1}{\omega _{r} C} }}$

da cui

$\! \! \! \! \! \! \! \! \! {\color{Red} \mathbf{ \omega _{r}=\sqrt{\frac{1}{L C}} }}$

la frequenza di risonanza sarà

$\! \! \! \! \! \! \! \! \! {\color{Red} \mathbf{ f_{r}=\frac{\omega _{r}}{2 \pi}=\frac{1}{2\pi \sqrt{LC}} }}$

Fig. 2.8 - Rappresentazione vettoriale della tensione e dell'impedenza in condizioni di risonanza del circuito LC in serie.

Alla frequenza di risonanza l’intera impedenza si riduce alla sola resistenza, anche se X_L e X_C hanno, separatamente, valore molto grande (fig. 2.8); la tensione risulta in fase con la corrente. Alimentando il circuito con un generatore di corrente la tensione V risulta

$\! \! \! \! \! \! \! \! \! {\color{Red} \mathbf{ \overline{V} = R*\overline{I} }}$

ed inoltre

$\! \! \! \! \! \! \! \! \! {\color{Red} \mathbf{ \overline{V}_{L} = X_{L}*\overline{I} }} \\ {\color{Red} \mathbf{ \overline{V}_{C} = X_{C}*\overline{I} }}$

Un circuito risonante serie può diventare pericoloso quando è alimentato da un generatore di tensione. In tal caso la corrente diventa

$\! \! \! \! \! \! \! \! \! {\color{Red} \mathbf{ \overline{I}=\frac{\overline{V}}{R} }}$

e può assumere valore molto elevato se R è piccola. Il rapporto

$\! \! \! \! \! \! \! \! \! {\color{Red} \mathbf{ \epsilon =\frac{X_{L}}{R}=\frac{X_{C}}{R} }}$

è detto coefficiente di risonanza o di sovratensione: se ε >> 1 le tensioni parziali V_L e V_C risultano molto maggiori di V.

Se la resistenza è nulla il circuito risonante serie si comporta come un corto circuito.

Esempio

Con riferimento al circuito di fig. 2.7 vengono forniti i seguenti dati:

i=2 √2 sen314t; R=20 Ω L=31,8 mH; C=159 μF

Determinare la tensione ai capi di ogni singolo elemento. Determinare la frequenza di risonanza e i valori delle tensioni a tale frequenza.

$\! \! \! \! \! \! \! \! \! \mathbf{ \omega =314\; rad/s } \\ \mathbf{ \overline{X} _{L}=j\omega L=j10 \Omega } \\ \\ \mathbf{ \overline{X} _{C}=\frac{1}{j\omega C}= -j20 \Omega } \\ \\ \mathbf{ \overline{Z} =R+j(X_{L}-X_{C})=20-j10\Omega }\\ \mathbf{ I=2A }$

Ponendo la corrente sull'asse reale, la sua parte immaginaria è nulla e quindi il vettore corrente risulta

$\! \! \! \! \! \! \! \! \! \mathbf{ \overline{I}=2+j0}$

Calcoliamo le tensioni

$\! \! \! \! \! \! \! \! \! \mathbf{ \overline{V}_{R}=R*\overline{I}=40V } \\ \mathbf{ \overline{V}_{L}=\overline{X}_{L}*\overline{I}=j20V } \\ \mathbf{ \overline{V}_{C}=\overline{X}_{C}\overline{I}=-j40V }$

La tensione totale può essere calcolata nei due modi

$\! \! \! \! \! \! \! \! \! \mathbf{ \overline{V}_{R}=\overline{Z}*\overline{I}=40-j20V } \\ \mathbf{ V=\sqrt{40^{2}+20^{2}}=44,7V\;\;\;\;\;\; \varphi_{V}=-26^{o} }$

oppure

$\! \! \! \! \! \! \! \! \! \mathbf{ \overline{V}=\overline{V}_{R}+\overline{V}_{L}+\overline{V}_{C}=40-j20V }$

La pulsazione di risonanza vale

$\! \! \! \! \! \! \! \! \! \mathbf{ \omega _{R}=\frac{1}{\sqrt{LC}}=447 \;rad/s; \;\;\;\;\;\; f_{r}=\frac{\omega _{r}}{2\pi}=71,2 \;Hz }$

Alla risonanza le reattanze induttiva e capacitiva si annullano a vicenda

$\! \! \! \! \! \! \! \! \! \mathbf{ \overline{Z}_{r}=R } \\ \mathbf{ \overline{V}_{r}=\overline{Z}_{r}*\overline{I}=R*I=40V } \\ \mathbf{ \overline{V}_{L}=j\omega _{r}L*I =j447*31,8*10^{-3}*2=j28V } \\ \\ \mathbf{ \overline{V}_{C}=\frac{1}{j\omega _{r}C}\overline{I}=\frac{1}{j447*160*10^{-6}}*2=-j28V }$

Commenti

0 #2 ThomastesLN 2020-03-06 09:28

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