Circuiti R-L ed R-C in parallelo

Circuiti R-L ed R-C in parallelo - Ammettenza

Dettagli: Categoria: Elettrotecnica; Pubblicato Domenica, 13 Luglio 2014 08:30; Scritto da Super User; Visite: 16464

Fig 2.11 - Circuito R-L parallelo:diagramma delle correnti e dell'ammettenza

Se si collegano due elementi ideali in parallelo, come ad esempio il resistere e l’induttore di fig. 2.11 e si alimenta il circuito con un generatore di tensione, la corrente in ogni ramo risulta

$\! \! \! \! \! \! \! \! \! {\color{Red} \mathbf{ \overline{I}_{R}=\frac{\overline{V}}{R};\;\;\;\;\;\; \overline{I}_{L}=\frac{\overline{V}}{jX_{L}} }}$

La corrente totale è ottenuta come somma delle correnti parziali

$\! \! \! \! \! \! \! \! \! {\color{Red} \mathbf{ \overline{I}=\overline{I}_{R}+\overline{I}_{L}=\overline{V}\left (\frac{1}{R}+\frac{1}{jX_{L}} \right ) }}$

ed è rappresentata nel diagramma vettoriale di fig. 2.11.

Il termine

$\! \! \! \! \! \! \! \! \! {\color{Red} \mathbf{ \left (\frac{1}{R}+\frac{1}{jX_{L}} \right ) }}$

prende il nome di ammettenza e si indica con Y.

L’espressione della corrente totale diventa

$\! \! \! \! \! \! \! \! \! {\color{Red} \mathbf{ \overline{I}=\overline{Y}*\overline{V} }}$

da cui

$\! \! \! \! \! \! \! \! \! {\color{Red} \mathbf{ \overline{Y}=\frac{\overline{I}}{\overline{V}} }}$

L’ammettenza di un circuito equivale all'inverso di una impedenza, poiché rappresenta il rapporto tra la corrente e la tensione e si misura in Siemens [S]. Essa è un operatore vettoriale che, moltiplicato per il vettore tensione, permette di ottenere la corrente corrispondente. Anch'essa, come già l’impedenza, può essere rappresentata da un numero complesso o da un vettore, secondo la convenienza. Ponendo

$\! \! \! \! \! \! \! \! \! {\color{Red} \mathbf{ G=\frac{1}{R}=\;conduttanza }} \\ \\ {\color{Red} \mathbf{ B_{L}=\frac{1}{X_{L}}=\;suscettanza }}$

l’ammettenza risulta

$\! \! \! \! \! \! \! \! \! {\color{Red} \mathbf{ \overline{Y}=G-jB_{L} }}$

L’espressione della corrente diventa

$\! \! \! \! \! \! \! \! \! {\color{Red} \mathbf{ \overline{I}=\overline{V}(G-jB_{L}) }}$

Con la notazione vettoriale si determinano modulo e fase

$\! \! \! \! \! \! \! \! \! {\color{Red} \mathbf{ |\overline{Y}|=Y=\sqrt{G^{2}+B_{L}^{2}} }} \\ \\ {\color{Red} \mathbf{ \varphi _{Y}=arcth\frac{B}{G} }} \\ \\ {\color{Red} \mathbf{ |\overline{I}|=I=Y*V }} \\ {\color{Red} \mathbf{ \varphi _{I}=\varphi _{V}+\varphi _{Y} }}$

Quanto detto a proposito del circuito R-L parallelo può essere trasferito analogamente al circuito R-C parallelo

$\! \! \! \! \! \! \! \! \! {\color{Red} \mathbf{ B_{C}=\frac{1}{X_{C}} }} \\ \\ {\color{Red} \mathbf{ \overline{Y}=G+jB_{C} }}$

Molto spesso, per risolvere reti complesse in regime sinusoidale è utile poter trasformare una catena di elementi in serie in un equivalente parallelo, o viceversa.

In fig. 2.12 a) è data una serie R-L, per la quale valgono le relazioni

$\! \! \! \! \! \! \! \! \! {\color{Red} \mathbf{ \overline{V}=\overline{Z}*\overline{I} }} \\ \\ {\color{Red} \mathbf{ \overline{Z}=G+jB_{C} }}$

Questo circuito può essere trasformato nell'equivalente parallelo che deve conservare lo stesso rapporto tra tensione e corrente

$\! \! \! \! \! \! \! \! \! {\color{Red} \mathbf{ circuito \;a)\;\:\: \overline{I}=\frac{\overline{V}}{\overline{Z}} }} \\ \\ {\color{Red} \mathbf{ circuito \;b)\;\:\: \overline{I}=\overline{Y}*\overline{V} }}$

Perché i due circuiti siano equivalenti si deve porre

$\! \! \! \! \! \! \! \! \! {\color{Red} \mathbf{ \overline{Y}=\frac{1}{\overline{Z}}=\frac{1}{R+jX_{L}} }}$

L’operazione di inversione di un numero complesso passa attraverso la razionalizzazione, che consiste nel moltiplicare numeratore e denominatore per il complesso coniugato di quest'ultimo

$\! \! \! \! \! \! \! \! \! {\color{Red} \mathbf{ \overline{Y}=\frac{1}{\overline{Z}}=\frac{1}{R+jX_{L}}*\frac{R-jX_{L}}{R-jX_{L}}=\frac{R}{R^{2}+X_{L}^{2}}-j\frac{X}{R+jX_{L}^{2}} }}$

La conduttanza e la suscettanza risultano

$\! \! \! \! \! \! \! \! \! {\color{Red} \mathbf{ G=\frac{R}{R^{2}+X_{L}^{2}}=\frac{cos\varphi }{Z};\;\;\;\;\;\;\;\;\; B_{L}=\frac{X_{L}}{R^{2}+X_{L}^{2}}=\frac{sen\varphi }{Z}}}$

Si osservi che la parte immaginaria dell'ammettenza ha segno opposto rispetto alla parte immaginaria dell'impedenza. Questo avviene poiché l'ammettenza considera la fase della corrente con la tensione posta sull'asse reale, mentre l'impedenza considera la fase della tensione con la corrente sull'asse reale.

Volendo trasformare un circuito parallelo nell'equivalente serie, si procede in maniera analoga

$\! \! \! \! \! \! \! \! \! {\color{Red} \mathbf{ \overline{Z}=\frac{1}{\overline{Y}} }} \\ \\ {\color{Red} \mathbf{ R=\frac{G}{G^{2}+B^{2}}=\frac{cos\varphi }{Y} }} \\ \\ {\color{Red} \mathbf{ X=\frac{B}{G^{2}+B^{2}}=\frac{sen\varphi }{Y} }}$

Esempio

Con riferimento alla fig. 4.2.12 si trasformi l'impedenza Z nell'equivalente ammettenza Y.

$\! \! \! \! \! \! \! \! \! \mathbf{ \overline{Z}=30+j40 }$

fig4.2.12

Fig 2.12 - Trasformazione di una impedenza nell'ammettenza equivalente

$\! \! \! \! \! \! \! \! \! \mathbf{ Z=\sqrt{30^{2}+40^{2}}=50\Omega; \;\;\;\;\;\varphi _{Z}=53^{o} } \\ \\ \mathbf{ G=\frac{cos\varphi _{Z}}{Z}=\frac{0,6}{50}=0,012 S } \\ \\ \mathbf{ B_{L}=\frac{sen\varphi _{Z}}{Z}=\frac{0,8}{50}=0,016 S } \\ \\ \mathbf{ \overline{Y}=G-jB_{L}=12*10^{-3}-j16*10^{-3} S }$

I due elementi G e —jB, che compongono ammettenza, sono rappresentati in parallelo come in figura; i corrispondenti valori di resistenza e reattanza sono

$\! \! \! \! \! \! \! \! \! \mathbf{ R_{p}=\frac{1}{G}=83,\overline{3}\Omega } \\ \\ \mathbf{ X_{p}=\frac{1}{B_{L}}=62,5\Omega }$