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Trasformatore monofase ideale

L2fig1.2.5

Fig. 1.5 - Schema elettrico di un trasformatore. Convenzioni di segno delle tensioni e delle correnti.

Consideriamo la fig. 1.5 dove due avvolgimenti aventi rispettivamente N1 e N2 spire sono avvolti intorno a un nucleo magnetico.

Per semplicità di trattazione e in prima approssimazione consideriamo il trasformatore ideale con le seguenti caratteristiche:

 

  • accoppiamento perfetto tra le due bobine: il flusso creato da un avvolgimento si concatena completamente con l'altro;
  • perdite trascurabili sia nel rame sia nel ferro;
  • bassa riluttanza del circuito magnetico.

Se si collega un generatore ideale di tensione alternata v1 Si considera il caso generale di tensione alternata (non necessariamente sinusoidale), cioè periodica, a componente continua nulla in un periodo. all'avvolgimento primario del trasformatore, si realizza il circuito di fig. 1.5. l'interruttore sul secondario Viene lasciato aperto in modo che non circoli alcuna corrente secondaria: in queste condizioni il trasformatore funziona a vuoto.

L'avvolgimento primario costituisce un carico puramente induttivo e assorbe una corrente in detta corrente magnetizzante, la quale produce a sua volta un flusso magnetico Φ(t). Le variazioni nel tempo di Φ(t) sono tali da indurre nell'avvolgimento una tensione e1, che, in ogni istante, si oppone esattamente alla tensione applicata v1, in accordo con il 2° principio di Kirchhoff

Il flusso Φ(t) è generato dalla corrente magnetizzante iμ, ma è la tensione primaria che ne stabilisce la forma d'onda e il valore.

Per questa ragione, nella trattazione che segue, si deve partire dalla forma d'onda della tensione applicata, ricavare la forma d'onda e il valore del flusso e solamente in ultimo sarà possibile ricavare la corrente magnetizzante iμ.

Nota la forma d'onda della tensione, si ricava immediatamente quella del flusso necessario a sostenerla, ricordando che

dove dΦ/dt e la tensione indotta in ogni spira.

Da questa espressione ricaviamo la variazione del flusso nel tempo

Riferendoci alla fig. 1.6 b, che rappresenta la tensione indotta da un flusso variabile nel tempo, osserviamo che il prodotto E1 *dt corrisponde all'area tratteggiata: possiamo così stabilire la proporzionalità tra la variazione di flusso dφ e l’area E1 *dt racchiusa sotto il diagramma della tensione

Estendendo il ragionamento all'intervallo di tempo Δt otteniamo che la corrispondente variazione ΔΦ è proporzionale all'intera area racchiusa sotto la semionda rettangolare

L2fig1.2.6

Fig. 1.6 - Relazione tra tensione primaria e flusso. La variazione di flusso Δ Φ è proporzionale all'impulso di tensione.

 

L’area E1*Δt è detta impulso di tensione U ed è misurata in V*s (vedi articolo «Tensione indotta come derivata del flusso»); la precedente formula diventa

L’impulso di tensione è pari alla variazione del flusso concatenato ΔΦc,

Ricordando che il valor medio Em della tensione in un semiperiodo è pari al valore dell'impulso diviso il semiperiodo stesso, possiamo porre

Sostituendo nell'espressione di ΔΦ, si ricava

Vediamo dalla fig. 1.6a che il valore massimo del flusso ΦM risulta

ricavando così

ed essendo

scriviamo la formula fondamentale del flusso del trasformatore

Questa relazione è valida per qualsiasi forma d ’onda e stabilisce che il valore massimo del flusso è proporzionale al valore medio della tensione e inversamente proporzionale al numero di spire primarie e alla frequenza.

L'impulso di tensione -U, del semiperiodo negativo, deve avere valore esattamente uguale e opposto all’impulso del semiperiodo positivo, come illustrato in fig. 1.6, dove le aree U e -U sono equivalenti, anche se di forma diversa. In altre parole la tensione primaria deve essere esente da componente continua.

Solo in tal caso la diminuzione del flusso in un semiperiodo compensa esattamente l'aumento del flusso nell’altro.

Se questo bilanciamento non fosse assicurato, il flusso subirebbe un certo incremento in ogni periodo e porterebbe in saturazione il circuito magnetico.

A questo punto possiamo finalmente determinare la corrente magnetizzante iu utilizzando la relazione

dove ℜ rappresenta la riluttanza del circuito magnetico e, nell'ipotesi semplifìcativa di circuito magnetico lineare, cioè di riluttanza costante,‘ tale corrente h’a'la"stessa forma d’onda del flusso.

In fig. 1.7 è illustrato un esempio nel quale la tensione applicata v1 ha forma d’onda rettangolare simmetrica. Il flusso dovrà avere andamento nel tempo e valori tali da indurre in ogni istante la tensione e1 esattamente identica a v1: esso avrà necessariamente la forma d’onda triangolare di fig. 1.7 b, come possiamo verificare graficamente.

A partire dall’istante zero il flusso diminuisce con andamento lineare fino all’istante T/4. Poiché la sua pendenza, cioè la sua derivata, è costante e negativa, la tensione sarà costante e, con le convenzioni di segno adottate in fig. 1.5, sarà anche negativa.

Nell'intervallo da T/4 a 3/4 T la pendenza del flusso e costante e positiva (fig. 1.7).

L2fig1.2.7

Fig. 1.7 - Andamento nel tempo delle grandezze primarie: (a) tensione applicata; (b) flusso; (c) corrente magnetizzante; (d) tensione indotta nel primario.

Il valore massimo del flusso viene calcolato a partire dalla formula fondamentale del flusso

Con la forma d'onda di questo esempio vale l'uguaglianza

e risulta

Avendo ipotizzato l'accoppiamento perfetto tra le due bobine, il flusso concatena completamente l'avvolgimento secondario, ai capi del quale si avrà la tensione e2

La tensione e2 conserva l'identica forma d'onda di e1, ma assume valore diverso proporzionale al numero di spire N1.

La relazione tra i valori delle due tensioni si ricava eseguendo il rapporto

dove m prende nome di rapporto spire.

Nel caso ideale m è anche uguale al rapporto tra le due tensioni ai morsetti che prende il nome di rapporto di trasformazione K

 

 

 

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