Trasformatore ideale in regime sinusoidale

Dettagli: Categoria: Elettrotecnica; Pubblicato Sabato, 27 Settembre 2014 10:32; Scritto da Super User; Visite: 21676

Fig. 2.1 - Circuito equivalente del trasformatore in regime sinusoidale sotto carico che considera solo la corrente magnetizzante.

Il circuito equivalente, ricavato nell'articolo «Trasformatore ideale sotto carico», può essere utilizzato per qualunque forma d'onda della tensione primaria.

Tuttavia una particolare attenzione va dedicata al comportamento del trasformatore in regime sinusoidale, poiché il suo utilizzo principale è rivolto alla trasformazione della potenza industriale, che è appunto distribuita utilizzando grandezze di forma sinusoidale.

Consideriamo in prima approssimazione un trasformatore senza perdite, sia nel rame sia nel ferro, e senza flusso disperso, alimentato con la tensione sinusoidale

$\! \! \! \! \! \! \! \! \! {\color{Red} \mathbf{ v_{1}=V_{M}sen\omega t }}$

Il circuito equivalente si presenta come in ﬁg. 2.1 ed è del tutto simile a quello visto nell'articolo «Trasformatore reale» di fig. 1.11, dove in corrispondenza dell'induttanza L₀ si è posta la reattanza

$\! \! \! \! \! \! \! \! \! {\color{Red} \mathbf{ X_{0}=2\pi f\, L_{0} }}$

Si vuole determinare il valore e la forma d'onda del flusso magnetico.

Come è noto dall'articolo «Trasformatore monofase ideale» il valore e la forma d'onda del flusso sono imposti dalla tensione applicata al primario. Con il circuito equivalente di fig. 2.1 nel quale la resistenza e la reattanza di dispersione primarie sono nulle, in ogni istante la tensione e₁ risulta identica a v₁ $\! \! \! \! \! \! \! \! \! {\color{Red} \mathbf{ e_{1}=v_{1}=V_{1}sen \omega t }}$

In accordo con quanto esposto nell'articolo «Trasformatore monofase ideale», ricordiamo che il flusso deve avere valore e forma tali da soddisfare l'equazione

$\! \! \! \! \! \! \! \! \! {\color{Red} \mathbf{ e_{1}=N_{1}\frac{d\Phi }{dt} }}$

Esprimendoci in termini matematici, la tensione è la derivata del flusso e considerando la formula inversa

$\! \! \! \! \! \! \! \! \! {\color{Red} \mathbf{ d\Phi =\frac{1}{N_{1}}*e_{1}dt }}$

ricaviamo

$\! \! \! \! \! \! \! \! \! {\color{Red} \mathbf{ \Phi =\frac{1}{N1}\int e_{1}dt }}$

Il flusso è dunque l'integrale della tensione, qualunque sia la forma d'onda.

Nel caso presente stiamo considerando una tensione primaria sinusoidale e dobbiamo dedicare un pò di attenzione a questa forma d'onda.

In fig. 2.2a è tracciata la tensione

$\! \! \! \! \! \! \! \! \! {\color{Red} \mathbf{ e=E_{M}sen\omega t }}$

L'integrale di una funzione sinusoidale è la funzione cosinusoidale negativa rappresentata in fig. 2.2b

$\! \! \! \! \! \! \! \! \! {\color{Red} \mathbf{ \Phi =-\Phi _{M}cos\omega t }}$

Dalla trigonometria è noto che

$\! \! \! \! \! \! \! \! \! {\color{Red} \mathbf{ -cos\omega t =sen\left ( \omega t -\frac{\pi}{2} \right ) }}$

Possiamo quindi scrivere

$\! \! \! \! \! \! \! \! \! {\color{Red} \mathbf{ \Phi =\Phi _{M}sen \left ( \omega t - \frac{\pi }{2} \right ) }}$

Il flusso ha un andamento sinusoidale simile a quello della tensione, ma sfasato di 90° in ritardo.

Fig. 2.2 - Relazione tra tensione e flusso magnetico in regime sinusoidale. Osservare che quando il flusso passa per lo zero (t₁) la sua derivata è massima: in corrispondenza si ha la massima tensione.

Dalla fig. 2.2 rileviamo che nell'istante t₂ il flusso raggiunge il valore massimo, ma con derivata nulla (la sua tangente geometrica è orizzontale): la tensione passa per lo zero.

Nell'istante t₁ il flusso ha valore nullo ma ha derivata massima (è massima l'inclinazione della tangente): la tensione presenta qui il suo valore massimo E_M. Risolto il problema di determinare la forma d’onda del flusso, rimane ora da calcolare il valore di Φ_M.

Questo problema è di immediata soluzione, ricordando la formula fondamentale del flusso esposta all'articolo «Trasformatore monofase ideale»

$\! \! \! \! \! \! \! \! \! {\color{Red} \mathbf{ \Phi _{M}=\frac{E_{M}}{4N_{1}*f};\;\;\;\;\;\;\; E_{m}=4N_{1}*f*\Phi _{M} }}$

Tale relazione è valida per qualsiasi forma d'onda e quindi anche per la sinusoidale.

Del flusso interessa sempre calcolare il valore massimo, poiché su questo viene dimensionata la sezione del circuito magnetico. Al contrario la tensione viene solitamente indicata attraverso il valore efficace E.

Modifichiamo la formula fondamentale in modo da poter calcolare Φ_M in funzione di E anziché di E_M. Utilizzando il fattore di forma K_f e ricordando che

$\! \! \! \! \! \! \! \! \! {\color{Red} \mathbf{ E_{m}=\frac{E}{K_{f}} }}$

si ricava

$\! \! \! \! \! \! \! \! \! {\color{Red} \mathbf{ \Phi _{M}=\frac{E}{4K_{f}*N_{1}*f};\;\;\;\;\;\; E=4K_{f}*N_{1}*f*\Phi _{M} }}$

Per la sinusoide il valore di K_f risulta

$\! \! \! \! \! \! \! \! \! {\color{Red} \mathbf{ K_{f}=\frac{\pi}{2\sqrt{2}}=1,11 }}$

In regime sinusoidale le precedenti espressioni diventano

$\! \! \! \! \! \! \! \! \! {\color{Red} \mathbf{ \Phi _{M}=\frac{E}{4,44*f*N_{1}}; \;\;\;\;\;\;\;\;\; E=4,44 *N_{1}*f*\Phi _{M} }}$

Il flusso è generato dalla corrente magnetizzante i_μ.

Ipotizzando un circuito magnetico lineare, di riluttanza ℜ, la corrente magnetizzante i_μ necessaria a creare il flusso risulta in fase con il flusso e con valore massimo

$\! \! \! \! \! \! \! \! \! {\color{Red} \mathbf{ I_{\mu M}=\frac{\Phi _{M}\Re}{N_{1}} }}$

e valore efficace

$\! \! \! \! \! \! \! \! \! {\color{Red} \mathbf{ I_{\mu M}=\frac{\Phi _{M}\Re}{\sqrt{2}*N_{1}} }}$

Fig. 2.3 - Diagramma vettoriale del trasformatore a vuoto, che considera soltanto la corrente magnetizzante.

In fig. 2.3 è rappresentato il diagramma vettoriale che riporta tensione primaria, flusso e corrente magnetizzante, nel funzionamento a vuoto.

Chiudendo il secondario su un carico qualsiasi Z circolerà al secondario la corrente i₂, la cui espressione vettoriale risulta

$\! \! \! \! \! \! \! \! \! {\color{Red} \mathbf{ \overline{I}_{2}=\frac{\overline{V}_{2}}{\overline{Z}} }}$

Contemporaneamente, al primario circolerà la corrente primaria di reazione I'₁ di valore

$\! \! \! \! \! \! \! \! \! {\color{Red} \mathbf{ \overline{I}'_{1}=\overline{I}_{2}*\frac{N_{2}}{N_{1}}=\frac{\overline{I}_{2}}{m} }}$

che in prima approssimazione sommata alla corrente magnetizzante fornisce la corrente primaria I₁

$\! \! \! \! \! \! \! \! \! {\color{Red} \mathbf{ \overline{I}_{1}=\overline{I}_{1}'+\overline{I}_{\mu} }}$

Fig. 2.4 - Diagramma vettoriale del trasformatore sotto carico, che considera soltanto la corrente magnetizzante: (a) secondario; (b) primario.

In fig. 2.4a e b sono rappresentati i diagrammi vettoriali del circuito primario e secondario del trasformatore sotto carico senza perdite, di fig. 2.1, avendo assunto come riferimento la tensione E₂₀ e ipotizzato il carico Z ohmico-induttivo. Sono stati indicati con φ l'angolo del carico Z e con Ψ₂ l'angolo tra la E₂₀ e la I₂. Nel caso in esame φ coincide con Ψ₂.

Esempio

Un trasformatore funziona in regime sinusoidale con i seguenti dati

f =50Hz B_M=1,6T N₁=200 X₀=1000 Ω
N₂=5O Z=(30-j10)&OMega; s_n=30cm²

Determinare le tensioni E₁, E₂₀ =V₂, la corrente I₂ e la corrente I₁.

Il valore del flusso massimo si ottiene moltiplicando l'induzione per la sezione del nucleo

$\! \! \! \! \! \! \! \! \! \mathbf{ \Phi _{M}=B_{M}*s_{n}=16*30*10^{-4}=4,8mWb }$