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Calcolo dei parametri del trasformatore reale in regime sinusoidale

Il trasformatore reale, oltre ad assorbire una corrente magnetizzante, presenta delle perdite nel ferro e nel rame. La valutazione di queste perdite in regime sinusoidale e il valore da attribuire ai componenti del circuito equivalente costituiscono l'argomento di questo articolo.

Perdite nel ferro

Come già accennato sono dovute all'isteresi e alle correnti parassite. Le prime dipendono dalla caratteristica magnetica del materiale e dal valore di induzione massima raggiunta. La valutazione analitica di queste perdite è difficoltosa, in quanto il ciclo d’isteresi ha variazioni anche notevoli tra vari lotti dello stesso materiale e l'area racchiusa dal ciclo dipende dalliinduzione massima con legge quasi quadratica.

Poiché a ogni periodo della tensione applicata viene dissipato un ben preciso ammontare di energia, le perdite per isteresi sono proporzionali alla frequenza. Una relazione empirica molto utilizzata è la seguente

dove K1 dipende< dal tipo di lamierino adottato, f è la frequenza, BM liinduzione massima e G il peso espresso in kg

Anche le perdite per correnti parassite dipendono da grandezze difficilmente valutabili e anche per esse si propone una relazione (empirica abbastanza affidabile

dove a è lo spessore in millimetri dei lamierini utilizzati e K2 un coefficiente strettamente legato alla resistività del materiale magnetico

I fabbricanti di lamierini forniscono, per ogni tipo di materiale, la cifra di perdita Kp che corrisponde alle perdite che si riscontrano in 1 kg di lamierini, sollecitati all'induzione massima di 1 T alla frequenza di 50 Hz.

Le cifre di perdita standardizzate per i lamierini di uso corrente sono:

Kp =

  • 0,9 W/kg per i lamierini a cristalli orientati di spessore 0,35 mm
  • 1,1 W/kg per i lamierini a cristalli orientati di spessore 0,5 mm
  • 1,3 W/kg per i lamierini di Fe-Si, spessore 0,5 mm
  • 1,6 W/kg per i lamierini di Fe-Si, spessore 0,5 mm
  • 2,2 W/kg per i lamierini di ferro dolce, spessore 0,5 mm

Per calcolare le effettive perdite in watt nel ferro di un circuito magnetico avente

  • peso = G [kg]
  • induzione = B M [T]
  • frequenza = f [HZ] si usa la formula empirica

Da questa relazione si osserva che le perdite nel ferro sono proporzionali al quadrato dell'induzione e quindi al quadrato della tensione E1, giustificando cosi il collegamento di R0 in parallelo a E1 come nell articolo "trasformatore Reale" fig. 1.12.

Calcoliamo il valore di R0 a partire dall'espressione

e sostituendo nell'espressione di PFe

Considerando che R0 = E12/PFe, si ricava il valore di R0

La relazione indica che R0 aumenta con la frequenza.

Ricordiamo che R0 è espressa in ohm, la frequenza f è espressa in Hz, N1 è il numero di spire primario, sn la sezione della colonna in m2, Kp, è la cifra di perdita in W/kg, G è il peso del ferro in kg.

Perdite nel rame

Le perdite nel rame sono dovute alla resistività degli avvolgimenti. Con fili sottili e a bassa frequenza la resistenza di una bobina è calcolabile con la nota formula

dove l è la lunghezza totale del filo, data dal prodotto della lunghezza lm della spira media, per il numero di spire. Con fili di grande sezione e/o in funzionamento ad alta frequenza, la resistenza viene aumentata per due motivi:

  1. effetto pelle: per questo fenomeno, la corrente ad alta frequenza si dispone ai bordi del conduttore utilizzando così una sezione minore di quella disponibile, con conseguente aumento dell'effettiva resistenza del circuito percorso;
  2. perdite addizionali: anche nel rame vengono a circolare correnti parassite di Foucault, che, aggiungendosi a quelle joule, aumentano la resistenza equivalente.

A causa di questi fenomeni, quando si devono progettare trasformatori ad alta frequenza e/o con conduttori di elevata sezione, è opportuno consultare apposite tabelle per maggiorare adeguatamente il valore di resistenza rispetto a quella calcolata in corrente continua.

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