Dimensionamento di un trasformatore: Calcolo dei parametri

Dettagli: Categoria: Elettrotecnica; Pubblicato Domenica, 26 Aprile 2015 13:30; Scritto da Super User; Visite: 24728

Proseguiamo il dimensionamento del trasformatore iniziato nell'articolo "Dimensionamento di un trasformatore" proponendoci di calcolare i valori di R₀, R₁, R₂, X_d1 e X₀.

Riepiloghiamo i dati definiti nell'articolo citato sopra

Dati di specifica

Tensione primaria V₁ = 220 V
Tensione secondaria V₂ = 100 V
Potenza nominale S =1 kVA
Frequenza f = 50 Hz sinusoidale

Dimensioni del Circuito magnetico

Lamierino 290, riportato in fig. 2.12 presente nell'articolo "Dimensionamento di un trasformatore: calcolo della corrente magnetizzante"
Larghezza ﬁnestra D = 25 mm
Altezza finestra E = 75 mm
Larghezza colonna C = 50 mm
Larghezza totale A = 150 mm
Altezza totale B = 125 mm
Spessore del pacco lordo d’ =70 mm
Spessore netto d = 64 mm
Sezione netta colonna s_n = C *d = 3200 mm²
Avvolgimento N₁ = 248 spire; N₂ = 124 spire
Sezioni conduttori S₁ = 2,01 mm²; s₂ = 3,94 mm²

Abbiamo scelto un lamierino di Fe-Si con cifra di perdita K_p = 1,3 W/kg. Il calcolo di R₀ viene effettuato per mezzo della relazione vista nell'articolo "Calcolo dei parametri del trasformatore reale in regime sinusoidale":

$\! \! \! \! \! \! \! \! \! {\color{Red} \mathbf{ R_{0}=2155*f^{0,8}*\frac{N_{1}^{2}*s_{n}^{2}}{K_{p}*G} }}$

Valutiamo innanzitutto il peso del circuito magnetico, calcolato come prodotto tra il peso specifico del ferro (γ = 7,86 g/cm³) e il volume netto del ferro.

Con riferimento alle dimensioni del circuito magnetico tale volume si calcola con la formula

$\! \! \! \! \! \! \! \! \! {\color{Red} \mathbf{ v=(B*A-2D*E)d'=(150*125-2*25*75)70=1050000mm^{3}=1050cm^{3} }}$

Il peso viene immediatamente calcolato

$\! \! \! \! \! \! \! \! \! {\color{Red} \mathbf{ G=\gamma *v=7,89*1050=8250g=8,25kg }}$

La resistenza R₀, calcolata alla frequenza industriale di 50 Hz, risulta

$\! \! \! \! \! \! \! \! \! {\color{Red} \mathbf{ R_{0}=\frac{2155*50^{0,8}*248^{2}*(32*10^{-4})^{2}} {1,3*8,25}=2,89k \Omega \simeq 2,9k\Omega }}$

Le perdite nel ferro alla tensione nominale risultano

$\! \! \! \! \! \! \! \! \! {\color{Red} \mathbf{ P_{Fe}=\frac{E_{1}^{2}}{R_{0}}=16,7 W }}$

Noto il valore della corrente magnetizzante ricavato nell'articolo "Dimensionamento di un trasformatore: calcolo della corrente magnetizzante", ovvero I_μ=0,52 A, ricaviamo la reattanza derivata

$\! \! \! \! \! \! \! \! \! {\color{Red} \mathbf{ X_{0}=\frac{V_{1}}{I{\mu}}=\frac{220}{0,52}=423\Omega }}$

I valori di R₁ e R₂ sono ottenuti aumentando del 10% i valori calcolati con la relazione valida per la corrente continua R = ρ*l/s.

Sapendo che il filo utilizzato è di rame e assumendo una temperatura media di esercizio di 75°, si calcola ρ₇₅ =0,021 Ω-mm/m.

La sezione dei fili è già nota. È necessario ancora calcolare le lunghezze l₁ e l₂ dei due avvolgimenti: facendo riferimento alla fig. .17 si calcola innanzitutto la lunghezza della spira media sia secondaria sia primaria che viene poi moltiplicata per il numero di spire corrispondente.

Fig. 2.17 - Sezione orizzontale del trasformatore per il calcolo della lunghezza della spira media primaria e secondaria.

C = larghezza della colonna = 50 mm;
d’ = altezza pacco lamierini = 70 mm;
D = larghezza finestra = 25 mm; A
$\! \! \! \! \! \! \! \! \! {\color{Red} \mathbf{ r_{1}=\frac{1}{4}D=6mm }}\\ \\ {\color{Red} \mathbf{ r_{2}=\frac{3}{4}D=18mm }}$
Spira media primaria l₁ = 2C + 2d' + 2πr₁ = 278 mm;
Spira media secondaria l₂ = 2C + 2d’ + 2πr₂ = 353 mm.

La lunghezza della spira media dell'avvolgimento di alta tensione risulta

l_1m = 2C + 2d’ + 2πr₁1 = 278 mm

e quella di bassa tensione

l₂m = 2C + 2d’ + 2πr₂ = 353 mm

da cui

l₁ = N₁l_1m=68,9m; l₂ = N₂l_2m=43,78m;

Fig. 2.18 - Quote necessarie per il calcolo di L₁ e L₂.

Le resistenze a 75° risultano

$\! \! \! \! \! \! \! \! \! {\color{Red} \mathbf{ R_{1}=1,1*\rho _{75^{o}}*\frac{l_{1}}{s_{1}}=1,1*0,021*\frac{68,9}{2,01}=0,792 \Omega }}\\ \\ {\color{Red} \mathbf{ R_{2}=1,1*\rho _{75^{o}}*\frac{l_{2}}{s_{2}}=1,1*0,021*\frac{43,78}{3,94}=0,257 \Omega }}$

Per il calcolo delle X_d1 e X_d2 si applicano le espressioni inerenti al caso di avvolgimenti concentrici

$\! \! \! \! \! \! \! \! \! {\color{Red} \mathbf{ L_{1}=N_{1}\frac{\mu _{0}}{h}\left ( \frac{x_{1}}{3}+\frac{x}{2} \right )P_{m} }}\\ \\ {\color{Red} \mathbf{ L_{2}=N_{2}\frac{\mu _{0}}{h}\left ( \frac{x_{2}}{3}+\frac{x}{2} \right )P_{m} }}$

Gli spessori e le distanze da inserire nella formula vengono ricavati dalle dimensioni del trasformatore riportate in fig. 2.18

Il perimetro medio P_m può essere calcolato come media aritmetica tra le lunghezze delle spire medie primaria e secondaria già calcolate

$\! \! \! \! \! \! \! \! \! {\color{Red} \mathbf{ P_{m}=\frac{l_{1m}+l_{2m}}{2}=\frac{278+353}{2}=315mm }}$

I valori degli spessori x₁ e x₂ si calcolano valutando il numero di strati di conduttori per ciascun avvolgimento e moltiplicandolo per i rispettivi diametri dei fili comprendenti lo smalto. A tal fine si calcola prima il numero di spire contenute in uno strato, dato dal rapporto tra l’altezza utile della finestra h = (E- 3) = 72 mm e il diametro esterno del filo; il valore ottenuto viene arrotondato per difetto

$\! \! \! \! \! \! \! \! \! conduttori \;per\; strato\; primario ={\color{Red} \mathbf{ \frac{h}{d'_{1}}=\frac{72}{1,711}=42 }}\\ \\ \\ conduttori \;per\; strato\; secondario ={\color{Red} \mathbf{ \frac{h}{d'_{2}}=\frac{72}{2,366}=30 }}$

Si avranno al primario un numero di strati

$\! \! \! \! \! \! \! \! \! {\color{Red} \mathbf{ N_{S1}=\frac{N_{1}}{42}=\frac{248}{42}=5,9 }}\;\;arrotondamento \; a\; 6 \; strati$

e al secondario

$\! \! \! \! \! \! \! \! \! {\color{Red} \mathbf{ N_{S2}=\frac{N_{2}}{30}=\frac{124}{30}=4,1 }}\;\;arrotondamento \; a\; 4 \; strati$

Gli spessori degli avvolgimenti risultano

$\! \! \! \! \! \! \! \! \! {\color{Red} \mathbf{ x_{1}=N_{S1}d'_{1}=6*1,711=10,2mm }}\\ \\ {\color{Red} \mathbf{ x_{2}=N_{S2}d'_{2}=4*2,366=9,5mm }}$

Lo spessore x’ di finestra non occupata dagli avvolgimenti risulta

$\! \! \! \! \! \! \! \! \! {\color{Red} \mathbf{ x'=D-x_{1}-x_{2}=25-10,2-9,5=5,3mm }}$

Ipotizzando lo spessore del rocchetto Δ₁ = 1,5 mm e lo spessore di finestra non utilizzato Δ₂ =1 mm, la distanza x tra gli avvolgimenti risulta

$\! \! \! \! \! \! \! \! \! {\color{Red} \mathbf{ x=x'-\Delta _{1}-\Delta _{2}=5,3-1,5-1=2,8mm\simeq 3mm }}$

L'altezza utile h degli avvolgimenti è stata già posta uguale a 72 mm.

Abbiamo tutti gli elementi da sostituire nella formula per calcolare le induttanze

$\! \! \! \! \! \! \! \! \! {\color{Red} \mathbf{ L_{1}=248^{2}*\frac{4\pi *10^{-7}}{72*10^{-3}}\left ( \frac{10,2}{3}+\frac{3}{2} \right )10^{-3}*315*10^{-3}=1,66mH }}\\ \\ {\color{Red} \mathbf{ L_{2}=124^{2}*\frac{4\pi *10^{-7}}{72*10^{-3}}\left ( \frac{95}{3}+\frac{3}{2} \right )10^{-3}*315*10^{-3}=0,394mH }}$

a cui corrispondono le reattanze

$\! \! \! \! \! \! \! \! \! {\color{Red} \mathbf{ X_{1}=\omega _{1}L_{1}=2\pi *50*1,66*10^{-3}=0,512\Omega }} \\ \\ {\color{Red} \mathbf{ X_{2}=\omega _{2}L_{2}=0,124\Omega }}$

In questo trasformatore le reattanze di dispersione assumono valori dello stesso ordine di grandezza delle resistenze.

Nei trasformatori di potenza minore le reattanze risultano assai più piccole delle resistenze e spesso possono essere trascurate.

Al contrario, nei trasformatori di potenza più elevata le reattanze di dispersione sono assai maggiori delle resistenze.

Nell'articolo "Influenza delle dimensioni di un trasformatore sul valore dei suoi parametri" si vedrà sistematicamente come i diversi parametri variano con leggi diverse al variare delle dimensioni.

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