Massima Potenza Erogabile da un Generatore

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Categoria: Elettrotecnica

Pubblicato Domenica, 03 Febbraio 2013 15:46

Scritto da Super User

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In figura sotto  é dato un generatore reale con la propria caratteristica, che alimenta il resistore R_u. Si vuol determinate la potenza massima erogabile dal generatore ed il valore da attribuire ad R_u perché l'utilizzatore assorba effettivamente tale potenza massima.

Fig. 5.3 - Andamento della potenza erogata da un generatore reale.

Per diversi valori di R_u si ottengono diversi punti di lavoro della caratteristica, per ciascuno dei quali si determina la potenza P_u assorbita dall’utilizzatore, come prodotto V*I. Riportando in diagramma i valori di P_u, corrispondenti a ciascun punto di lavoro, si traccia la parabola di figura.
Il vertice della parabola fornisce il valore della potenza massima, che si trova in corrispondenza del punto di lavoro di coordinate

 La massima potenza erogabile dal generatore reale risulta perciò

 e tale potenza può essere erogata solamente se si pone

 Per tutti gli altri valori di R_u la potenza erogata risulterà inferiore.

Per il calcolo del rendimento non è invece sufficiente la sola conoscenza della caratteristica esterna, ma risulta indispensabile conoscere la costituzione interna del generatore.
Si possono presentare i seguenti tre casi, aventi tutti l'identica caratteristica esterna riportata in fig. 5.3.

a) Generatore di tensione con R_i in serie (fig. 5.4 a); per un generico valore di I la potenza generata è pari ad E₀* I; la potenza utile è pari a V_AB *I il rendimento sarà perciò



Da questa relazione si deduce che il rendimento vale zero al corto circuito (R_u= 0; R_il = E₀); aumenta linearmente al diminuire di I, fino ad avvicinarsi al valore 1 per correnti prossime a zero. Per I = 0 (circuito aperto) il rendimento è privo di significato, poiché le potenze in gioco sono nulle.
La retta del rendimento in funzione di I è illustrata in fig. 5.4b). In ascissa, ai diversi valori di I, sono associati i relativi valori di R_u: il rendimento aumenta all’aumentare di R_u.
Sovrapposto al diagramma è riportato l'andamento parabolico della P_u, in funzione di I; in corrispondenza di P_u(max)(I =I_CC/2) il rendimento risulta



Alla potenza massima non corrisponde quindi rendimento massimo

 Fig 5.4 - Potenza e rendimento in un generatore di tensione

b)  Generatore di corrente con R_i in parallelo (fig 5.5 a). Per un generico valore di V_AB si ottiene 



L'andamento di η in funzione di V_AB è riportato in fig. 5.5 b); il rendimento è zero a circuito aperto (V_AB = I_cc*R_i), mentre si avvicina al valore uno per R_u e V_AB tendenti a zero. Per P_u = P_max il rendimento e ancora pari a 0,5. 
Con questo generatore il rendimento aumenta al diminuire di R_u.

c) Consideriamo una rete complessa di generatori e resistori, sostituita da un generatore equivalente di Thévenin avente la stessa caratteristica esterna del due esempi precedenti.
La sua potenza massima è ancora



e si ottiene sempre quando R_u =R_i.
L’andamento del rendimento risulta invece diverso dagli esempi precedenti, e deve essere ricavato di volta in volta in funzione della composizione della rete.
L’adattamento di resistenza, per avere in R_u la potenza massima, viene utilizzato nei circuiti elettronici, dove le potenze in gioco sono piccole. Nel caso di generatori di potenza, al contrario, il rendimento del 50% risulta inaccettabile il generatore non può dissipare nella resistenza interna una potenza pari a quella erogata, poiché ne verrebbe distrutto. I generatori di potenza (normalmente di tensione) lavorano quindi con R_u molto maggiore di R_i, per contenere le perdite entro valori accettabili. La potenza erogata risulta minore di P_max, ma con rendimento nettamente superiore al 50%.

Esempio:

Con riferimento alla fig. 5.3,

dati E₁ = 20 V, R_i-= 10 Ω 

Determinare il valore di potenza massima erogabile.
La condizione di massima potenza si ha con R_u = R_i = 10 Ω La potenza massima vale

Fig 5.6

Esempio:

Fig 5.7

Con riferimento al circuito di fig. 5.6 determinare la potenza massima dissipata 
in R_u, il valore di R_u per ottenerla e il rendimento.
Dati: E₁ = 40 V; R₁ = 10 Ω; R₂=40 Ω

Applicando il teorema di Thévenin tra i punti A - B, il circuito diviene quello di figura 5.7

Per il calcolo del rendimento occorre calcolare la potenza generata dal generatore reale E₁, e quindi il valore I₁. La tensione V_AB. è quella ai capi di R_u, risulta

La corrente I₁ si ottiene dal circuito iniziale

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