Curve Esponenziali

Dettagli: Categoria: Elettrotecnica; Pubblicato Giovedì, 16 Maggio 2013 12:03; Scritto da Super User; Visite: 12437

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Se V_I > V_F, la curva prende la forma di ﬁg. 3.4 a); se V_I < V_F quella di ﬁg. 3.4 b).

La curva è totalmente determinata quando si conoscono i tre parametri

valore iniziale V_I
valore ﬁnale V_F
costante di tempo τ

Evidenziamo ora alcune proprietà notevoli delle curve esponenziali.

Proprietà 1. - La tangente alla curva nel suo punto iniziale intercetta l’asintoto al tempo t=τ (vedi ﬁg. 3.5); il coefﬁciente angolare m di tale tangente è dato dal rapporto fra i due cateti di lunghezza (V_F— V_I) e τ

${\color{Red} \mathbf{ m=\frac{V_{F}-V_{I}}{\tau} }}$

reciprocamente

${\color{Red} \mathbf{ \tau=\frac{V_{F}-V_{I}}{m} }}$

fig2.3.5

Fig 3.5 - Relazione fra la tangente e la costante di tempo

Il coefﬁciente angolare della tangente nell’origine non è altro che la derivata della curva nell’origine, che viene indicata come

${\color{Red} \mathbf{ \left ( \frac{dy}{dt} \right )_{t=0} }}$

possiamo quindi porre

${\color{Red} \mathbf{ \left ( \frac{dy}{dt} \right )_{t=0}=m=\frac{V_{f}-V_{I}}{\tau} }}$

e quindi

${\color{Red} \mathbf{ \tau=\frac{V_{f}-V_{I}}{\left ( \frac{dy}{dt} \right )_{t=0}} }}$

Questa proprietà è valida anche assumendo come punto iniziale un qualsiasi altro punto della curva, come ad esempio il punto B al tempo t_B, dove la funzione assume il valore V_B. La derivata della curva in questo punto ha ancora un’espressione simile, e risulta

${\color{Red} \mathbf{ \left ( \frac{dy}{dt} \right )_{t=t_{B}}=\frac{V_{F}-V_{B}}{\tau} }}$

Sfruttando questa proprietà diventa facile tracciare la curva esponenziale. Si devono conoscere inizialmente i tre parametri V_I, V_F e τ, e si procede nel modo seguente (esempi delle ﬁgure 3.7 e 3.8): si traccia l’asintoto al livello V_F, si indica sull’asse y il punto iniziale di ordinata V_I, ed inﬁne si delimita sull’asintoto il segmento di durata τ.
La retta che congiunge V_I con il punto P è tangente alla curva nel suo punto iniziale. Con questi elementi la curva può essere tracciata agevolmente.

fig2.3.6

Fig 3.6 - Area compresa tra la curva e l'asintoto

fig2.3.7a

Fig 3.7 - Curva esponenziale con valore finale maggiore del valore iniziale

fig2.3.8

Fig 3.8 - Curva esponenziale con V_I=0 e V_F> V_I

Proprietà 2. - L’area compresa tra la curva e l’asintoto (ombreggiata in fig. 3.6) è pari al prodotto dell’ampiezza per la costante di tempo

${\color{Red} \mathbf{ Area = A*\tau =\left | V_{F}-V_{I} \right |*\tau }}$

Se, come nel caso precedente, si assume come punto iniziale un generico punto B, la porzione di area compresa da B in poi è ancora data dalla stessa espressione, dove, al posto di V_I, compare V_B

${\color{Red} \mathbf{ Area =\left | V_{F}-V_{B} \right |*\tau }}$