Calcolo dei parametri del trasformatore reale in regime sinusoidale

Dettagli: Categoria: Elettrotecnica; Pubblicato Sabato, 11 Aprile 2015 12:00; Scritto da Super User; Visite: 40560

Il trasformatore reale, oltre ad assorbire una corrente magnetizzante, presenta delle perdite nel ferro e nel rame. La valutazione di queste perdite in regime sinusoidale e il valore da attribuire ai componenti del circuito equivalente costituiscono l'argomento di questo articolo.

Perdite nel ferro

Come già accennato sono dovute all'isteresi e alle correnti parassite. Le prime dipendono dalla caratteristica magnetica del materiale e dal valore di induzione massima raggiunta. La valutazione analitica di queste perdite è difficoltosa, in quanto il ciclo d’isteresi ha variazioni anche notevoli tra vari lotti dello stesso materiale e l'area racchiusa dal ciclo dipende dalliinduzione massima con legge quasi quadratica.

Poiché a ogni periodo della tensione applicata viene dissipato un ben preciso ammontare di energia, le perdite per isteresi sono proporzionali alla frequenza. Una relazione empirica molto utilizzata è la seguente

$\! \! \! \! \! \! \! \! \! {\color{Red} \mathbf{ P_{ist}=K_{1}*f*B_{M}^{1,6}*G }}$

dove K₁ dipende< dal tipo di lamierino adottato, f è la frequenza, B_M liinduzione massima e G il peso espresso in kg

Anche le perdite per correnti parassite dipendono da grandezze difficilmente valutabili e anche per esse si propone una relazione (empirica abbastanza affidabile

$\! \! \! \! \! \! \! \! \! {\color{Red} \mathbf{ P_{cp}=K_{2}*f^{2}*B_{M}^{2}*a^{2}*G }}$

dove a è lo spessore in millimetri dei lamierini utilizzati e K₂ un coefficiente strettamente legato alla resistività del materiale magnetico

I fabbricanti di lamierini forniscono, per ogni tipo di materiale, la cifra di perdita K_p che corrisponde alle perdite che si riscontrano in 1 kg di lamierini, sollecitati all'induzione massima di 1 T alla frequenza di 50 Hz.

Le cifre di perdita standardizzate per i lamierini di uso corrente sono:

K_p =

0,9 W/kg per i lamierini a cristalli orientati di spessore 0,35 mm
1,1 W/kg per i lamierini a cristalli orientati di spessore 0,5 mm
1,3 W/kg per i lamierini di Fe-Si, spessore 0,5 mm
1,6 W/kg per i lamierini di Fe-Si, spessore 0,5 mm
2,2 W/kg per i lamierini di ferro dolce, spessore 0,5 mm

Per calcolare le effettive perdite in watt nel ferro di un circuito magnetico avente

peso = G [kg]
induzione = B M [T]
frequenza = f [HZ] si usa la formula empirica

$\! \! \! \! \! \! \! \! \! {\color{Red} \mathbf{ P_{fe}=K_{p}*f^{2}*B_{M}^{2}*\left (\frac{f}{50} \right )^{1,2}*G }}$

Da questa relazione si osserva che le perdite nel ferro sono proporzionali al quadrato dell'induzione e quindi al quadrato della tensione E₁, giustificando cosi il collegamento di R₀ in parallelo a E₁ come nell articolo "trasformatore Reale" fig. 1.12.

Calcoliamo il valore di R₀ a partire dall'espressione

$\! \! \! \! \! \! \! \! \! {\color{Red} \mathbf{ B_{M}=\frac{E_{1}}{4,44*f*N_{1}*s_{n}} }}$

e sostituendo nell'espressione di P_Fe

$\! \! \! \! \! \! \! \! \! {\color{Red} \mathbf{ P_{fe}=K_{p}*\frac{E_{1}^{2}*(f/50)^{1,2}*G}{4,44*f*N_{1}*s_{n}}=K_{p}\frac{1}{4,44^{2}*50^{1,2}}*\frac{E_{1}^{2}*G}{N_{1}^{2}*s_{n}^{2}}*\frac{f^{1,2}}{f^{2}}=\frac{K_{p}*E_{1}^{2}*G}{2155*s_{n}^{2}*N_{1}^{2}*f^{0,8}} }}$

Considerando che R_{0 = E₁²/P_Fe, si ricava il valore di R₀}

$\! \! \! \! \! \! \! \! \! {\color{Red} \mathbf{ R_{0}=\frac{2155*f^{0,8}*N_{1}^{2}*s_{n}^{2}}{K_{p}*G} }}$

La relazione indica che R₀ aumenta con la frequenza.

Ricordiamo che R₀ è espressa in ohm, la frequenza f è espressa in Hz, N₁ è il numero di spire primario, s_n la sezione della colonna in m², K_p, è la cifra di perdita in W/kg, G è il peso del ferro in kg.

Perdite nel rame

Le perdite nel rame sono dovute alla resistività degli avvolgimenti. Con fili sottili e a bassa frequenza la resistenza di una bobina è calcolabile con la nota formula

$\! \! \! \! \! \! \! \! \! {\color{Red} \mathbf{ R= \rho*\frac{l}{s} }}$

dove l è la lunghezza totale del ﬁlo, data dal prodotto della lunghezza l_m della spira media, per il numero di spire. Con ﬁli di grande sezione e/o in funzionamento ad alta frequenza, la resistenza viene aumentata per due motivi:

effetto pelle: per questo fenomeno, la corrente ad alta frequenza si dispone ai bordi del conduttore utilizzando così una sezione minore di quella disponibile, con conseguente aumento dell'effettiva resistenza del circuito percorso;
perdite addizionali: anche nel rame vengono a circolare correnti parassite di Foucault, che, aggiungendosi a quelle joule, aumentano la resistenza equivalente.

A causa di questi fenomeni, quando si devono progettare trasformatori ad alta frequenza e/o con conduttori di elevata sezione, è opportuno consultare apposite tabelle per maggiorare adeguatamente il valore di resistenza rispetto a quella calcolata in corrente continua.

Induttanza di dispersione

Anche la valutazione dell'induttanza di dispersione sia primaria sia secondaria è complessa e richiede alcune semplificazioni.

Ammettendo che il flusso disperso primario concateni tutte e solamente le spire del primario e che il flusso disperso secondario concateni tutte e solamente le spire secondarie, sono state ricavate delle relazioni approssimate ma abbastanza affidabili, soprattutto per grandi trasformatori.

Queste espressioni assumono un diverso aspetto, a seconda del tipo di avvolgimento realizzato.

Per gli avvolgimenti concentrici, esposti in ﬁg. 2.13, si indicano con h l'altezza degli; avvolgimenti, con P_m il loro perimetro medio, misurato sulla linea a tratto e punto, con x₁ lo spessore del primario, con x₂ quello del secondario e con x la distanza tra i due avvolgimenti. Le espressioni delle induttanze di dispersione risultano

$\! \! \! \! \! \! \! \! \! {\color{Red} \mathbf{ L_{1}=N_{1}^{2}\frac{\mu_{0}}{h}\left ( \frac{x_{1}}{3}+\frac{x}{2} \right )*P_{m} }}\\ \\ {\color{Red} \mathbf{ L_{2}=N_{2}^{2}\frac{\mu_{0}}{h}\left ( \frac{x_{2}}{3}+\frac{x}{2} \right )*P_{m} }}$

Tutte le lunghezze sono espresse in metri

Con gli avvolgimenti sdoppiati, esposti in ﬁg. 2.14, indicando con d_m il diametro medio e con x₂ la somma degli spessori dei due semi-avvolgimenti del secondario, si avrà

$\! \! \! \! \! \! \! \! \! {\color{Red} \mathbf{ L_{1}=N_{1}^{2}\frac{\mu_{0}}{h}\left ( \frac{x_{1}}{6}+\frac{x}{2} \right )\pi *(d_{m}+X_{1}) }}\\ \\ {\color{Red} \mathbf{ L_{2}=N_{2}^{2}\frac{\mu_{0}}{h}\left ( \frac{x_{2}}{6}+\frac{x}{2} \right )\pi *(d_{m}+X_{2}) }}$

Si osservi che sdoppiando l’avvolgimento, a parità di altre condizioni, le induttanze di dispersione diminuiscono rispetto a quelle ottenute con l’avvolgimento concentrico.

L2fig1.3.13

Fig. 2.13 - Sezione trasversale in un trasformatore monofase con avvolgimento concentrico.

L2fig1.3.14

Fig. 2.14 - Sezione trasversale di un trasformatore monofase con avvolgimento concentrico sdoppiato.

L2fig1.3.15

Fig. 2.15 - Sezione longitudinale di un trasformatore monofase a bobine alternate.

Nel caso delle bobine alternate, illustrate in ﬁg. 2.15, indicando con q il numero totale di bobine primarie e secondarie, con d_i il diametro interno e d_e quello esterno si avrà

$\! \! \! \! \! \! \! \! \! {\color{Red} \mathbf{ L_{1}=\frac{N_{1}^{2}\mu_{0}\pi}{q*ln\frac{d_{e}}{d_{i}}}\left ( \frac{x_{1}}{6}+\frac{x}{2} \right ) }}\\ \\ \\ {\color{Red} \mathbf{ L_{2}=\frac{N_{2}^{2}\mu_{0}\pi}{q*ln\frac{d_{e}}{d_{i}}}\left ( \frac{x_{2}}{6}+\frac{x}{2} \right ) }}$

Le due semi bobine di B.T. poste in testa agli avvolgimenti vengono conteggiate per una unità. Si osservi che l'induttanza diminuisce con l'aumentare del numero di bobine.

Fig. 2.16 - Circuito equivalente del trasformatore reale in regime sinusoidale.

A ogni induttanza di dispersione, in regime sinusoidale, viene abbinata la corrispondente reattanza di dispersione

X _d1 = ωL₁ per il primario

X _d2 = ωL₂ per il secondario

Il circuito equivalente completo del trasformatore reale in regime sinusoidale assume l'aspetto di ﬁg. 2.16.

E opportuno ricordare che tutti i valori, sia reattivi sia resistivi, che compongono il circuito equivalente dipendono dalla frequenza: i parametri del circuito equivalente sono abbinati sempre a una frequenza di alimentazione, che deve essere specificata.

Esempio

Per un dato trasformatore è stato calcolato il valore di R<₀ = 1000 Ω con f = 50 Hz e V= 100 V.

Ricalcolare il valore R₀ con f'= 100 Hz, V’= V 100 V e con f”=f=50 Hz e V” = 50 V.

Soluzione Nel primo caso la tensione rimane costante, per cui raddoppiando la frequenza l'induzione B_M si dimezza.

Le perdite nel ferro sono proporzionali al quadrato di B_M, ma solamente all'esponente 1,2 della frequenza, per cui complessivamente diminuiscono. Questo corrisponde a un aumento di R₀ secondo la formula

$\! \! \! \! \! \! \! \! \! {\color{black} \mathbf{ R'_{0}=R_{0}\left ( \frac{f'}{f} \right )^{0,8}=1000*2^{0,8}=1740 \Omega }}$

Nel secondo caso l'induzione si dimezza come la tensione e la f resta invariata: le perdite nel ferro P_Fe diventano un quarto del valore iniziale.

La R''₀ risulta

$\! \! \! \! \! \! \! \! \! {\color{black} \mathbf{ R''_{0}=\frac{\left ( \frac{1}{2}V_{0} \right )^{2}}{\frac{1}{4}P_{Fe}}=\frac{V_{0}^{2}}{P_{Fe}}=R_{0} }}$

La resistenza non è cambiata.

Se ne conclude che per un trasformatore già costruito la R₀ varia al variare della frequenza di alimentazione, ma non della tensione (sempre che rimanga nei limiti imposti dal costruttore).

Esempio

Un trasformatore con avvolgimenti concentrici ha le seguenti caratteristiche:

N₁=200; N₂=50; h=220 mm; d_m=180 mm x₁=50 mm; x=8 mm; x₂=40mm; f=50 Hz

Determinare la reattanza di dispersione primaria e secondaria.

Il perimetro medio dell'avvolgimento sarà

$\! \! \! \! \! \! \! \! \! {\color{black} \mathbf{ P_{m}=2 \pi *d_{m}=1130 mm }}$