Metodo del Potenziale ai Nodi - Teorema di Millman

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Categoria: Elettrotecnica

Pubblicato Sabato, 05 Gennaio 2013 13:59

Scritto da Super User

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l metodo del potenziale ai nodi deriva, come il precedente, da quello di Kirchhoff, ma considera solamente le equazioni ai nodi. Esso è basato sull'impostazione di un sistema ridotto, formato solamente da N — 1 equazioni, dove N è il numero dei nodi, le cui incognite sono le tensioni nei vari nodi, rispetto ad un nodo qualsiasi preso come riferimento. Le correnti nei vari rami vengono poi ricavate in maniera semplice

utilizzando la legge di Ohm generalizzata.
Si procede nel modo seguente:

1. Si sceglie un nodo di riferimento e si attribuisce un valore incognito di tensione fra ciascun nodo e il riferimento.
   
   
2. Si attribuisce un verso arbitrario alle correnti in ogni ramo.
3. Si esprimono le correnti in ciascun ramo in funzione delle tensioni incognite ai capi dello stesso ramo, utilizzando le espressioni della legge di Ohm generalizzata.
   
   
4. Si scrive il sistema di N - 1 equazioni agli N - 1 nodi, utilizzando le espressioni delle correnti ricavate al punto 3).
5. Si ricavano le tensioni ai vari nodi risolvendo il sistema.
6. Sostituendo queste tensioni nelle equazioni del punto 3) si ricavano immediatamente le correnti.

Esempio:

Considerando la rete di fig 3.3, che riproduce lo stesso circuito delle figure precedenti.


Fig 3.3

1. Si assume come riferimento il nodo C; le tensioni incognite sono percio V_AC e V_AB che per brevità vengono indicate V_A e V_B.
2. Si attribuiscono i versi delle correnti nei rami come indicato in figura.
   
   
3. Si scrivono le espressioni delle correnti
   
    
   
   
4. Si impostano le due equazioni ai nodi
   
     nodo A)  
   
     nodo B)  
   
   Sostituendo ad ogni corrente la corrispondente espressione, ricavata al punto 3), si imposta il sistema
   
    
   
   
5. Sostituendo i valori numerici a tutti i termini noti si ricava infine il sistema:
   
    
   
   Anche questo sistema risulta molto semplificato rispetto a quello del metodo di Kirchhoff, e fornisce le seguenti soluzioni:
   
    
   
   
6. Dalle espressioni del punto 3) si ricavano ora tutte le correnti.
   Nel caso in cui un circuito sia composto dai due soli nodi A e B, il sistema si riducde ad una sola equazione, che consente di determinare immediatamente la tensione V_AB in questo caso l'espressione rappresenta il teorema di Millman:
   
    
   
   Con n si indica il numero dei lati collegati tra i due nodi; le E_l rappresentano le tensioni dei generatori di tensione, le I_i sono le correnti dei generatori di corrente.
   Tutti g1i addendi del numeratore hanno le dimensioni di una corrente; essi equivalgono alla corrente che circolerebbe in ciascun rarno cortocircuitando i punti A e B. Il loro segno è positivo se la loro corrente scorre dal generatore verso A; indicando con I_cc la corrente che circola nel conduttore di cortocircuito tra A e B, dato dalla somma delle singole correnti nei vari rami, e con R_eq la resistenza equivalente vista dai punti A e B, dopo aver staccato i generatori di corrente e cortocircuitato quelli di tensione l'espressione assume la forma.
   
    
   
   

Nelle rete di fig 3.4 calcolare la tensione V_AB, tra gli unici due nodi A e B.

Dati:
E₁=10V
E₂=40V
I₃=3A
I₅=1A
R₁=10Ω
R₂=20Ω
R₄=20Ω
R₅=80Ω



Fig 3.4






 


Si osservi che la resistenza R₅ in serie al generatore di corrente ideale I₅ non influisce nel calcolo di V_AB. 

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